Момент инерции относительно оси интеграл

Необходимо вычислить момент инерции относительно выбранной оси вращения для данного объекта, используя интеграл, учитывая геометрию и распределение массы. Формула для вычисления момента инерции в этом случае зависит от формы тела и может потребовать использования двойного интеграла для учета площадей или объемов элементов массы относительно выбранной оси.

Рассмотрим объект с плотностью \(\rho\) и элемент массы \(dm\), находящийся на расстоянии \(r\) от выбранной оси вращения. Тогда момент инерции \(dI\) этого элемента определяется как \(dI = r^2dm\).

Суммируя моменты инерции всех элементов массы относительно выбранной оси, мы получаем общий момент инерции \(I\):

\[I = \int r^2 dm \]

Для применения этой формулы можно использовать интегралы по площади (в случае плоской фигуры) или по объему (для трехмерных объектов) для учета распределения массы объекта.